🎯 题目理解

一个正整数 $n$ 是幂和数，当且仅当它可以表示为两个 2 的次幂之和：

$$n = 2^x + 2^y \quad (x, y \geq 0,\ x \leq y\ \text{可避免重复})$$

注意：$x$ 和 $y$ 可以相等（比如 $2^2 + 2^2 = 8$）。

我们需要统计在区间 $[l, r]$ 中有多少个这样的数。

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✅ 解题思路

1. 枚举每个 $n \in [l, r]$
2. 对每个 $n$，判断它是否可以写成 $2^x + 2^y$
3. 枚举 $x$ 和 $y$，计算 $2^x + 2^y$ 是否等于 $n$

但注意：由于 $n \leq 10^4$，而 $2^{14} = 16384 > 10^4$，所以 $x, y \leq 13$ 即可。

我们可以预处理所有可能的 $2^x$ 值（最多到 $2^{13}$），然后枚举 $x \leq y$，看 $2^x + 2^y$ 是否在 $[l, r]$ 范围内，并用集合或布尔数组记录哪些数是幂和数。

但这里题目给出的是一个嵌套循环结构，所以我们按照这个结构填空。

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✅ 补全代码

for (int n = l; n <= r; n++) { // 枚举 l~r 的每一个数
    bool flag = false;
    for (int x = 0; x <= 13; x++) { // 枚举 x
        int px = 1 << x; // 计算 2 的 x 次方
        for (int y = x; y <= 13; y++) { // 枚举 y，从 x 开始避免重复
            int py = 1 << y; // 计算 2 的 y 次方
            if (px + py == n) // 判断是否是幂和数
                flag = true;
        }
    }
    if (flag) ans++; // 更新答案
}

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✅ 完整代码示例

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int l, r;
    cin >> l >> r;
    
    int ans = 0;
    for (int n = l; n <= r; n++) { // 枚举 l~r 的每一个数
        bool flag = false;
        for (int x = 0; x <= 13; x++) { // 枚举 x
            int px = 1 << x; // 计算 2 的 x 次方
            for (int y = x; y <= 13; y++) { // 枚举 y
                int py = 1 << y; // 计算 2 的 y 次方
                if (px + py == n) // 判断是否是幂和数
                    flag = true;
            }
        }
        if (flag) ans++; // 更新答案
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

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✅ 说明

• 1 << x 是快速计算 $2^x$ 的方式。
• y 从 x 开始，避免重复计算如 $2^1+2^2$ 和 $2^2+2^1$，但因为加法交换律，我们只需考虑 $x \leq y$。
• 最大需要 $2^{13} = 8192$，而 $2^{14} = 16384 > 10^4$，所以 $x, y \leq 13$ 足够。

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✅ 样例验证

输入 2 8：

幂和数有：

• $2^0 + 2^1 = 1+2 = 3$
• $2^0 + 2^2 = 1+4 = 5$
• $2^1 + 2^1 = 2+2 = 4$
• $2^0 + 2^3 = 1+8 = 9 > 8$ 不行
• $2^1 + 2^2 = 2+4 = 6$
• $2^2 + 2^2 = 4+4 = 8$
• $2^0 + 2^0 = 1+1 = 2$

所以 $2, 3, 4, 5, 6, 8$ —— 共 6 个 ✅

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✅ 最终填空答案

for (int n = l; n <= r; n++) { // 枚举 l~r 的每一个数
    bool flag = false;
    for (int x = 0; x <= 13; x++) { // 枚举 x
        int px = 1 << x; // 计算 2 的 x 次方
        for (int y = x; y <= 13; y++) { // 枚举 y
            int py = 1 << y; // 计算 2 的 y 次方
            if (px + py == n) // 判断是否是幂和数
                flag = true;
        }
    }
    if (flag) ans++; // 更新答案
}

✅ 完整、正确、高效。